Übungen / Aufgaben zu C#
3 Lösungen
Farben/Pixel sortieren
Es soll ein Programm erstellt werden, welches zufällig erstellte Pixel nach der Farbe sortieren kann.
Das Programm soll dabei ungefähr so aussehen, wie auf Bild1.
Im ersten Teil der Aufgabe soll es , durch das Drücken eines Buttons, möglich sein ein Panel mit Pixeln, die alle eine zufällig generierte Farbe besitzen, zu füllen. (Bild2)
Als nächstes sollen dann alle Pixel des Panels sortiert werden(Bild3). In diesem Beispiel habe ich die Pixel nach ihrem "HUE" sortiert. Spannend wäre aber auch zu wissen, wie es aussieht, wenn man die Pixel nach einem anderem Kriterium sortiert.
Wer möchte, kann aber auch die Pixel eines bestimmten Bildes sortieren.
Das Programm soll dabei ungefähr so aussehen, wie auf Bild1.
Im ersten Teil der Aufgabe soll es , durch das Drücken eines Buttons, möglich sein ein Panel mit Pixeln, die alle eine zufällig generierte Farbe besitzen, zu füllen. (Bild2)
Als nächstes sollen dann alle Pixel des Panels sortiert werden(Bild3). In diesem Beispiel habe ich die Pixel nach ihrem "HUE" sortiert. Spannend wäre aber auch zu wissen, wie es aussieht, wenn man die Pixel nach einem anderem Kriterium sortiert.
Wer möchte, kann aber auch die Pixel eines bestimmten Bildes sortieren.
6 Lösungen
Ist Freitag der 13. ein Unglücks- oder Glückstag?
Wir betrachten den Gregorianischen Kalender mit den üblichen 12 Monaten und Schaltjahren.
Schaltjahr ist, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist, mit Ausnahme der Jahre, die durch 100,
jedoch nicht durch 400 teilbar sind. Im Schaltjahr hat der Februar 29 Tage.
Unsere Zeitrechnung beginne mit dem 1. Januar 00.
Frage: Welcher Wochentag fällt
a) am häufigsten auf einen 13. des Monats und
b) welcher bzw. welche am wenigsten.
Schaltjahr ist, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist, mit Ausnahme der Jahre, die durch 100,
jedoch nicht durch 400 teilbar sind. Im Schaltjahr hat der Februar 29 Tage.
Unsere Zeitrechnung beginne mit dem 1. Januar 00.
Frage: Welcher Wochentag fällt
a) am häufigsten auf einen 13. des Monats und
b) welcher bzw. welche am wenigsten.
11 Lösungen
Anfängeraufgabe FizzBuzz
Dies ist eine Anfängeraufgabe, die gerne für ein erstes Aussieben bei Bewerbungsgesprächen gestellt wird, da tatsächlich erstaunlich viele Bewerber die Aufgabe falsch
lösen oder zu viel Zeit dafür benötigen. Für jemanden der als Programmierer sein Geld verdienen will, sollte die Aufgabe in zwei Minuten lösbar sein.
Aufgabe:
Schreibe ein Programm das alle Zahlen von 1 bis 100 ausgibt. Wenn die Zahl allerdings ein Vielfaches von 3 ist, soll statt der Zahl das Wort "Fizz" ausgegeben werden. Wenn die Zahl ein Vielfaches von 5 ist, soll statt der Zahl das Wort "Buzz" ausgegeben werden. Ist die Zahl sowohl ein Vielfaches von 3 als auch von 5, soll statt der Zahl das Wort "FizzBuzz" ausgegeben werden.
lösen oder zu viel Zeit dafür benötigen. Für jemanden der als Programmierer sein Geld verdienen will, sollte die Aufgabe in zwei Minuten lösbar sein.
Aufgabe:
Schreibe ein Programm das alle Zahlen von 1 bis 100 ausgibt. Wenn die Zahl allerdings ein Vielfaches von 3 ist, soll statt der Zahl das Wort "Fizz" ausgegeben werden. Wenn die Zahl ein Vielfaches von 5 ist, soll statt der Zahl das Wort "Buzz" ausgegeben werden. Ist die Zahl sowohl ein Vielfaches von 3 als auch von 5, soll statt der Zahl das Wort "FizzBuzz" ausgegeben werden.
4 Lösungen
Schneller als der Taschenrechner
Wenn ihr die folgende Aufgabe programmiert habt, könnt ihr auf jeder Party durch eure brilliante Kopfrechenleistung glänzend, ihr werdet schneller sein als jeder andere, selbst wenn er einen Tscherechner oder euren benutzen darf.
Zu programmieren ist ein kleiner, aber sehr spezieller Taschenrechner (Bild 1), der folgendes kann:
1) Entgegennahme einer dreistelligen positiven, geraden Ganzzahl (Bild 2).
2) Vergrößern der Dreistellenzahl auf sechs Stellen, indem die Zahl einfach noch einmal angehängt wird (Bild 3).
3) … 5) (komplizierte) Division der Sechstellenzahl nacheinander durch 22, 7 und 13. Reihenfolge spielt keine Rolle, aber nur jeweils 1x (deshalb deuten rote Buttons auf „nicht mehr benutzbar“ hin).
Im Beispiel (Bild 1 … 6) habt ihr allerdings das Ergebnis (117) wesentlich schneller per Kopf ausgerechnet als euer Freund mit dem Taschenrechner. Das liegt nicht daran, dass der Rechner so langsam rechnet, sondern daran, das das Buttondrücken so lange dauert.
Die ganze Übung vor größerem Publikum solltet ihr allerdings nach etwa höchstens 10 Vorführungen zunächst abbrechen, also noch bevor jemand hinter den Trick kommt. Was der Trick ist? Nun, bitte erst einmal selber nachdenken.
Zu programmieren ist ein kleiner, aber sehr spezieller Taschenrechner (Bild 1), der folgendes kann:
1) Entgegennahme einer dreistelligen positiven, geraden Ganzzahl (Bild 2).
2) Vergrößern der Dreistellenzahl auf sechs Stellen, indem die Zahl einfach noch einmal angehängt wird (Bild 3).
3) … 5) (komplizierte) Division der Sechstellenzahl nacheinander durch 22, 7 und 13. Reihenfolge spielt keine Rolle, aber nur jeweils 1x (deshalb deuten rote Buttons auf „nicht mehr benutzbar“ hin).
Im Beispiel (Bild 1 … 6) habt ihr allerdings das Ergebnis (117) wesentlich schneller per Kopf ausgerechnet als euer Freund mit dem Taschenrechner. Das liegt nicht daran, dass der Rechner so langsam rechnet, sondern daran, das das Buttondrücken so lange dauert.
Die ganze Übung vor größerem Publikum solltet ihr allerdings nach etwa höchstens 10 Vorführungen zunächst abbrechen, also noch bevor jemand hinter den Trick kommt. Was der Trick ist? Nun, bitte erst einmal selber nachdenken.
3 Lösungen
Konvexe Hüllkurve um Punktwolke
In der X-Y-Ebene seinen N Punkte zufällig verteilt (Bild 1). Man schreibe ein Programm, das die konvexe Hüllkurve um diese Punktwolke zeichnet (Bild 2).
Zum Verständnid, was die konvexe Hüllkurve um eine Punktwolke ist, stelle man sich die Punkte als fixierte Push-Pins oder Nägel auf einem Pinbord (möglichst nicht aus Kork) oder Holzbrett vor. Jetzt nehme man einen Gummiring (z. B. vom Einweckglas) und spanne diesen so um die Pins, dass sich alle im „Inneren“ des Gummiringes befinden (eine „360-Grad-Umwicklung“ eines Pins ist nicht erlaibt). Der so verformte Gummiring ergibt aus physikalischen Gründen einen geschlossenen Linienzug. Dieser Linienzug wird konvexe Hüllkurve um die Punktwolke genannt.
Zum Verständnid, was die konvexe Hüllkurve um eine Punktwolke ist, stelle man sich die Punkte als fixierte Push-Pins oder Nägel auf einem Pinbord (möglichst nicht aus Kork) oder Holzbrett vor. Jetzt nehme man einen Gummiring (z. B. vom Einweckglas) und spanne diesen so um die Pins, dass sich alle im „Inneren“ des Gummiringes befinden (eine „360-Grad-Umwicklung“ eines Pins ist nicht erlaibt). Der so verformte Gummiring ergibt aus physikalischen Gründen einen geschlossenen Linienzug. Dieser Linienzug wird konvexe Hüllkurve um die Punktwolke genannt.
2 Lösungen
Validierung der abc-Vermutung
Die sogenannte abc-Vermutung sorgte in den letzten Jahren zu ungewöhnlich viel
Wirbel, Stress und Zank bei Zahlentheoretikern mit vielleicht sogar etwas skandalösem Touch.
Gelänge ein Beweis, dann könnte ein solcher in die Top-Charts der jüngeren Mathematikgeschichte
aufsteigen. Die abc-Vermutung wurde erst vor Kurzem aufgestellt (etwa 1985, also vor gut 30 Jahren,
was in der Mathematikgeschichte quasi nichts ist). Verblüffend für mich ist, dass man bei einem Beweis
damit die berühmte Große Fermatsche Vermutung von 1635, bewiesen erst 1993 auf mehreren hundert DIN-A4-Seiten
(wobei zuvor bereits mehr als 5.000 fehlgeschlagene Beweisversuche bekannt sind), auf einer einzigen
DIN-A4-Seite aufschreiben könnte und dass selbst ein Laie (wie ich) den Beweis verstehen würde.
Kommen wir (kurz) zum skandalösem Touch: 2012 reichte ein Japaner auf über 500 DIN-A4-Seiten einen (angeblichen)
Beweis der abc-Vermutung ein. Es stellte sich schnell heraus, dass er dabei (bewiesenes) Nebenwissen anwandte,
dass jedoch kaum bekannt war und in der Beweisführung hätte etwas mehr Platz und Erörterung finden sollen. Dies korrigierte
der Japaner dann wohl auch, womit sich sein Beweis auf über 1.000 Seiten aufblähte. Verständlich, dass sich damit kaum jemand
beschäftigte.
Darüber frustiert, beschimpfte der Japner zunächst die mathematische Welt als einen Haufen talentloser
Idioten (also nicht wörtlich, so etwas macht ein Japaner nicht, sondern sinnbildlich) und lud 2015 eine Reihe von Mathematikern,
die er selbst aussuchte und für ev. für fähig hielt, zu mehrtägigen Workshops ein. In ellenlangen Vorträgen erläuterte er
diesen Experten seinen Beweis der abc-Vermutung.
Jedenfalls sollen sich nach den Workshops einige der ausgesuchten Experten in die Richtung geäußert haben,
dass sie einen Ansatz zum Verständnis und zur Prüfung des Beweises sehen und sich an die Arbeit machen wollen.
Man hat abgeschätzt, dass, wenn man sich täglich etwa fünf Stunden damit beschäftigen würde, etwa in einem halben Jahr
durchsein könnte.
Nun gut, bis heute ist keiner durch, allerdings hat sich auch noch niemand geäußert, einen Fehler gefunden zu haben.
Somit ist alles noch in der Schwebe. Dass die jetzt beweissuchenden Experten zuvor vom Japaner gebrieft worden sind, stellt
allerdings das eigentlich Zweifelhafte und nicht Akzeptierbare dar, der Geruch von Bestechlichkeit ist nicht wegzuwischen.
Soweit die kleine Vorgeschichte. Natürlich wollen auch wir nicht die abc-Vermutung beweisen, soldern lediglich etwa überprüfen.
Würden wir bei der Überprüfung auch nur ein einziges Gegenbeispiel finden, so hätte es sich mit dem Beweis ja sowieso erledigt.
Aber keine zu große Vorfreude, ich denke weder ihr noch ich werden wahrscheinlich ein Gegenbeispiel finden.
Die ABC-Vermutung: Gegeben seien zwei positive Ganzzahlen a und b mit 0 < a < b und die außerdem teilerfremd (ggT(a, b) = 1) sind.
Diesen zwei Zahlen a und b sind zwei Eigenschaften zugeordnet, genannt "Summe" (c) und "Radikal" (rad).
Die Eigenschaft "Summe" ist weiter nichts als die ordinäre Summe von a und b, also c = a + b. Interessanter ist das "Radikal",
es ist eine spezielle Multiplikationsvorschrift für a, b und c. Würde man das ordinäre Produkt a * b * c bilden, so würde immer
gelten
a * b * c > c (es sei den a = b = 1, was aber wegen a < b untersagt ist).
Beim Radikal rad(a * b * c) werden jedoch nur alle unterschiedlichen Primzahlen, in die a * b * c zerlegt werden kann,
miteinander multipliziert.
Z. B. rad(100) = rad (2 * 2 * 5 * 5) = 2 * 5 = 10;
Bei einer so definierten Multiplikation ist es dann in der Tat möglich, dass sich für bestimmte positiv ganzzahlige
Tripel (a, b, c) wahre Ungleichungen bzw. Gleichungen der Form rad(a * b * c) <= c ergeben. Man nennt derartige Tripel abc-Treffer.
Allerdings gibt es "reativ wenige" solcher abc-Treffer. Es kann jedoch bewiesen werden, dass es immer noch unendlich viele sind
(deshalb machen Beschreibungen wie "reativ wenige" keinen Sinn in der Mathematik). So, bis jetzt ist alles noch "relativ" unspannend.
Spannend wird es, wenn man rad(a * b * c) potenziert, also (rad(a * b * c))^(1 + epsilon). Mit epsilon = 0 haben wir wieder den
Fall unendlich vieler mögliche abc-Treffer. Ist jedoch epsilon auch nur ein "My" größer als Null gibt es nur noch endlich viele abc-Treffer
(so die abc-Vermutung).
Wäre dies tatsächlich so (also bewiesen), zöge das einen ganz gewaltigen Schwanz an neuen mathematischen Erkenntnissen u. a. in der
Zahlentheorie nach sich (worauf wir hier natürlich nicht eingehen wollen, wer dbzgl. mehr wissen möchte, kann zunächst am Besten bei
Wikipedia einsteigen).
Die Programmieraufgabe lautet:
1.) Zähle alle abc-Treffer mit epsilon = 0 für die c < c_max (z. B. c_max = 10.000) ist.
2.) Führe das Gleiche durch mit wachsendem epsilon, z. B. epsilon = {0.1, 0.2 ... 0.9, 1.0} (interessant wäre zu erkunden, ob bei
steigendem epsilon die Anzahl der abc-Treffer linear abnimmt).
Viel Erfolg!
Wirbel, Stress und Zank bei Zahlentheoretikern mit vielleicht sogar etwas skandalösem Touch.
Gelänge ein Beweis, dann könnte ein solcher in die Top-Charts der jüngeren Mathematikgeschichte
aufsteigen. Die abc-Vermutung wurde erst vor Kurzem aufgestellt (etwa 1985, also vor gut 30 Jahren,
was in der Mathematikgeschichte quasi nichts ist). Verblüffend für mich ist, dass man bei einem Beweis
damit die berühmte Große Fermatsche Vermutung von 1635, bewiesen erst 1993 auf mehreren hundert DIN-A4-Seiten
(wobei zuvor bereits mehr als 5.000 fehlgeschlagene Beweisversuche bekannt sind), auf einer einzigen
DIN-A4-Seite aufschreiben könnte und dass selbst ein Laie (wie ich) den Beweis verstehen würde.
Kommen wir (kurz) zum skandalösem Touch: 2012 reichte ein Japaner auf über 500 DIN-A4-Seiten einen (angeblichen)
Beweis der abc-Vermutung ein. Es stellte sich schnell heraus, dass er dabei (bewiesenes) Nebenwissen anwandte,
dass jedoch kaum bekannt war und in der Beweisführung hätte etwas mehr Platz und Erörterung finden sollen. Dies korrigierte
der Japaner dann wohl auch, womit sich sein Beweis auf über 1.000 Seiten aufblähte. Verständlich, dass sich damit kaum jemand
beschäftigte.
Darüber frustiert, beschimpfte der Japner zunächst die mathematische Welt als einen Haufen talentloser
Idioten (also nicht wörtlich, so etwas macht ein Japaner nicht, sondern sinnbildlich) und lud 2015 eine Reihe von Mathematikern,
die er selbst aussuchte und für ev. für fähig hielt, zu mehrtägigen Workshops ein. In ellenlangen Vorträgen erläuterte er
diesen Experten seinen Beweis der abc-Vermutung.
Jedenfalls sollen sich nach den Workshops einige der ausgesuchten Experten in die Richtung geäußert haben,
dass sie einen Ansatz zum Verständnis und zur Prüfung des Beweises sehen und sich an die Arbeit machen wollen.
Man hat abgeschätzt, dass, wenn man sich täglich etwa fünf Stunden damit beschäftigen würde, etwa in einem halben Jahr
durchsein könnte.
Nun gut, bis heute ist keiner durch, allerdings hat sich auch noch niemand geäußert, einen Fehler gefunden zu haben.
Somit ist alles noch in der Schwebe. Dass die jetzt beweissuchenden Experten zuvor vom Japaner gebrieft worden sind, stellt
allerdings das eigentlich Zweifelhafte und nicht Akzeptierbare dar, der Geruch von Bestechlichkeit ist nicht wegzuwischen.
Soweit die kleine Vorgeschichte. Natürlich wollen auch wir nicht die abc-Vermutung beweisen, soldern lediglich etwa überprüfen.
Würden wir bei der Überprüfung auch nur ein einziges Gegenbeispiel finden, so hätte es sich mit dem Beweis ja sowieso erledigt.
Aber keine zu große Vorfreude, ich denke weder ihr noch ich werden wahrscheinlich ein Gegenbeispiel finden.
Die ABC-Vermutung: Gegeben seien zwei positive Ganzzahlen a und b mit 0 < a < b und die außerdem teilerfremd (ggT(a, b) = 1) sind.
Diesen zwei Zahlen a und b sind zwei Eigenschaften zugeordnet, genannt "Summe" (c) und "Radikal" (rad).
Die Eigenschaft "Summe" ist weiter nichts als die ordinäre Summe von a und b, also c = a + b. Interessanter ist das "Radikal",
es ist eine spezielle Multiplikationsvorschrift für a, b und c. Würde man das ordinäre Produkt a * b * c bilden, so würde immer
gelten
a * b * c > c (es sei den a = b = 1, was aber wegen a < b untersagt ist).
Beim Radikal rad(a * b * c) werden jedoch nur alle unterschiedlichen Primzahlen, in die a * b * c zerlegt werden kann,
miteinander multipliziert.
Z. B. rad(100) = rad (2 * 2 * 5 * 5) = 2 * 5 = 10;
Bei einer so definierten Multiplikation ist es dann in der Tat möglich, dass sich für bestimmte positiv ganzzahlige
Tripel (a, b, c) wahre Ungleichungen bzw. Gleichungen der Form rad(a * b * c) <= c ergeben. Man nennt derartige Tripel abc-Treffer.
Allerdings gibt es "reativ wenige" solcher abc-Treffer. Es kann jedoch bewiesen werden, dass es immer noch unendlich viele sind
(deshalb machen Beschreibungen wie "reativ wenige" keinen Sinn in der Mathematik). So, bis jetzt ist alles noch "relativ" unspannend.
Spannend wird es, wenn man rad(a * b * c) potenziert, also (rad(a * b * c))^(1 + epsilon). Mit epsilon = 0 haben wir wieder den
Fall unendlich vieler mögliche abc-Treffer. Ist jedoch epsilon auch nur ein "My" größer als Null gibt es nur noch endlich viele abc-Treffer
(so die abc-Vermutung).
Wäre dies tatsächlich so (also bewiesen), zöge das einen ganz gewaltigen Schwanz an neuen mathematischen Erkenntnissen u. a. in der
Zahlentheorie nach sich (worauf wir hier natürlich nicht eingehen wollen, wer dbzgl. mehr wissen möchte, kann zunächst am Besten bei
Wikipedia einsteigen).
Die Programmieraufgabe lautet:
1.) Zähle alle abc-Treffer mit epsilon = 0 für die c < c_max (z. B. c_max = 10.000) ist.
2.) Führe das Gleiche durch mit wachsendem epsilon, z. B. epsilon = {0.1, 0.2 ... 0.9, 1.0} (interessant wäre zu erkunden, ob bei
steigendem epsilon die Anzahl der abc-Treffer linear abnimmt).
Viel Erfolg!
3 Lösungen
Crowdfunding für Fibonacci-Uhr
Erneut FIBONACCI, jedoch diesmal in einem ganz anderen Zusammenhang.
Im Zuge von Crowdfunding ist in Kanada die sogenannte Fibonacci-Clock (Bild 1)
entwickelt und in die Produktion überführt worden.
(https://www.kickstarter.com/projects/basbrun/fibonacci-clock-an-open-source-clock-for-nerds-wit)
Es sollten für dieses Projekt innerhalb eines Monates (05 - 06/2015) 5.000 CAD
gesammelt werden (ca. 3.500 €), zusammengekommen sind aber sage und schreibe
(über) unglaubliche 125.000 €. Man lernt daraus, dass man mit einer guten (verrückten)
Idee manchmal auch einiges an Geld aquirieren kann.
Dabei ist an der Fibonacci-Clock nichts Kompliziertes dran. Im Grunde besteht sie
lediglich aus einem Display, das in fünf Quadrate mit unterschiedlicher
(variabler) Farbe und (fixer) Kantenlänge aufgeteilt ist.
Die Kantenlängen der Quadrate sind 1, 1, 2, 3 und 5, entsprechen also dem Beginn der
Fibonacci-Sequenz. Es lassen sich damit die Dezimalzahlen 0 ... 12 codieren.
Das Interessante an dem Display ist, dass man damit gleichzeitig
die Stunden und (teilweise) die Minuten darstellen kann. Dies geschieht mittels
wechselnder Farbcodierung der Quadrate und Aufaddition der den Quadraten zugeordnete
Fibonaccizahl. Die Farbe Rot steht für die Stunden, die Farbe Grün für die Minuten.
Wird ein Quadrat sowohl für die Stunden- als auch für die Minutensummation benötigt,
wird dies durch die Farbe Blau angezeigt (Bild 2). Weiß steht für "Nichtnutzung" des
Quadrates. Die Minutenzahl erhält man durch Multiplikation der Minutenzahlsumme mit 5,
somit ist die Genauigkeit der erfindungsgemäßen Uhr auf +- 2.5 Minuten begrenzt,
Vor- und Nachmittagszeiten sind identisch.
Mit den fünf Fibonaccizahlen lassen sich wie gesagt alle Werte von 0 bis 12 darstellen,
d. h. die Minutenanzeige "springt" lediglich alle fünf Minuten. Dies bedeutet allerdings nicht,
dass die Anzeige nicht schneller wechseln darf, denn es gibt mit den Ausnahmen für die
Null und die Zwölf für jede Zahl mehrere Möglichkeiten der Fibonacci-Codierung, die der
kanadische Erfinder auch in kurzen Intervallen und zufällig wechseln läßt.
Die Programmieraufgabe besteht darin, die Fibonacci-Clock mit einer Grafik-Applikation zu
simulieren. Der Minutenwechsel soll allerdings nicht im 5-Minuten-Takt, sondern sogar minütlich
erfolgen. Damit könnte man die Uhr vielleicht als Tester für Schnelldenker einsetzen.
Neben den vier Grundfarben des Erfinders (Weiß, Rot, Grün und Blau (Bild 3))werden also
vier weitere Farben zur Kodierung der fehlenden Additivzahlen 1, 2, 3 und 4 für den Minutenzähler
benötigt. Im Beispiel (Bild 4) sind es die Farben
Yellow (steht für Überlagerung mit Weiß),
Pink (steht für Überlagerung mit Rot),
Purple (steht für Überlagerung mit Grün) und
SkyBlue (steht für Überlagerung mit Blau)
Viel Erfolg!
Im Zuge von Crowdfunding ist in Kanada die sogenannte Fibonacci-Clock (Bild 1)
entwickelt und in die Produktion überführt worden.
(https://www.kickstarter.com/projects/basbrun/fibonacci-clock-an-open-source-clock-for-nerds-wit)
Es sollten für dieses Projekt innerhalb eines Monates (05 - 06/2015) 5.000 CAD
gesammelt werden (ca. 3.500 €), zusammengekommen sind aber sage und schreibe
(über) unglaubliche 125.000 €. Man lernt daraus, dass man mit einer guten (verrückten)
Idee manchmal auch einiges an Geld aquirieren kann.
Dabei ist an der Fibonacci-Clock nichts Kompliziertes dran. Im Grunde besteht sie
lediglich aus einem Display, das in fünf Quadrate mit unterschiedlicher
(variabler) Farbe und (fixer) Kantenlänge aufgeteilt ist.
Die Kantenlängen der Quadrate sind 1, 1, 2, 3 und 5, entsprechen also dem Beginn der
Fibonacci-Sequenz. Es lassen sich damit die Dezimalzahlen 0 ... 12 codieren.
Das Interessante an dem Display ist, dass man damit gleichzeitig
die Stunden und (teilweise) die Minuten darstellen kann. Dies geschieht mittels
wechselnder Farbcodierung der Quadrate und Aufaddition der den Quadraten zugeordnete
Fibonaccizahl. Die Farbe Rot steht für die Stunden, die Farbe Grün für die Minuten.
Wird ein Quadrat sowohl für die Stunden- als auch für die Minutensummation benötigt,
wird dies durch die Farbe Blau angezeigt (Bild 2). Weiß steht für "Nichtnutzung" des
Quadrates. Die Minutenzahl erhält man durch Multiplikation der Minutenzahlsumme mit 5,
somit ist die Genauigkeit der erfindungsgemäßen Uhr auf +- 2.5 Minuten begrenzt,
Vor- und Nachmittagszeiten sind identisch.
Mit den fünf Fibonaccizahlen lassen sich wie gesagt alle Werte von 0 bis 12 darstellen,
d. h. die Minutenanzeige "springt" lediglich alle fünf Minuten. Dies bedeutet allerdings nicht,
dass die Anzeige nicht schneller wechseln darf, denn es gibt mit den Ausnahmen für die
Null und die Zwölf für jede Zahl mehrere Möglichkeiten der Fibonacci-Codierung, die der
kanadische Erfinder auch in kurzen Intervallen und zufällig wechseln läßt.
Die Programmieraufgabe besteht darin, die Fibonacci-Clock mit einer Grafik-Applikation zu
simulieren. Der Minutenwechsel soll allerdings nicht im 5-Minuten-Takt, sondern sogar minütlich
erfolgen. Damit könnte man die Uhr vielleicht als Tester für Schnelldenker einsetzen.
Neben den vier Grundfarben des Erfinders (Weiß, Rot, Grün und Blau (Bild 3))werden also
vier weitere Farben zur Kodierung der fehlenden Additivzahlen 1, 2, 3 und 4 für den Minutenzähler
benötigt. Im Beispiel (Bild 4) sind es die Farben
Yellow (steht für Überlagerung mit Weiß),
Pink (steht für Überlagerung mit Rot),
Purple (steht für Überlagerung mit Grün) und
SkyBlue (steht für Überlagerung mit Blau)
Viel Erfolg!
2 Lösungen
Wieder (vielleicht) Erstaunliches vom Fibonacci
Gegeben sei eine Folge von N Strings der Längen 1, 2, 3 ... N. Jedes Char eines Strings beinhaltet lediglich entweder eine '0' oder eine '1',
jedoch dürfen zwei benachbarte Chars nicht beide eine '1' beinhalten.
Man zeige für N bis 25, dass die Anzahl möglicher (unterschiedlicher) Strings einer Längenklasse der Fibonacci-Reihe ab der 2 folgen
(2, 3, 5, 8 ...).
Also:
Länge = 1, zwei Möglichkeiten ("0", "1")
Länge = 2, drei Möglichkeiten ("00", "01", "10")
Länge = 3, fünf Möglichkeiten ("000", "001", "010", "100", "101")
...
Wieviele unterschiedliche Strings der oben genannten Art gibt es mit einer Stringlänge von 999?
jedoch dürfen zwei benachbarte Chars nicht beide eine '1' beinhalten.
Man zeige für N bis 25, dass die Anzahl möglicher (unterschiedlicher) Strings einer Längenklasse der Fibonacci-Reihe ab der 2 folgen
(2, 3, 5, 8 ...).
Also:
Länge = 1, zwei Möglichkeiten ("0", "1")
Länge = 2, drei Möglichkeiten ("00", "01", "10")
Länge = 3, fünf Möglichkeiten ("000", "001", "010", "100", "101")
...
Wieviele unterschiedliche Strings der oben genannten Art gibt es mit einer Stringlänge von 999?
3 Lösungen
Gray-Code bei Analog-Digital-Konvertierung
Bei der Analog-Digital-Konvertierung sollte die Abtastfrequenz in der Regel
wesentlich höher sein als die zeitliche Änderung des Messsignals (Nyquist-Kriterium).
Aus diesem Grunde ergeben zwei benachbarte Abtastungen zumeist entweder den gleichen (Digital)wert
oder einen um +/- 1 geänderten Wert. Ist dies nicht der Fall, so kann man mit sehr hoher
Wahrscheinlichkeit von einem Fehler bei der Messung (größer Rauscheinfluss) oder bei der Analog-
Digital-Konvertierung ausgehen.
Fehler bei der Analog-Digital-Konvertierung können bevorzugt dann entstehen, wenn bei einer
Messwertänderung um +/- 1 gleichzeitig mehrere Binärwerte switschen müssen. Z. B. bei einem
Messwert 7, der sich auf 8 ändert (7 -> 8) ändert sich der Binärwert von 0111 -> 1000, d. h.
es müssen quasi parallel vier Bits gekippt werden.
Um diese Fehlerquelle zu minimieren, werden die Messwerte zumeist nicht direkt in eine
Binärzahl konvertiert, sondern zunächst in den sogenannten Gray-Code. Der Gray-Code garantiert, dass sich bei
einer Messwertänderung um +/- 1 nur ein einziges Bit im Code ändert.
Das Kodierungsschema lässt sich u. a. leicht aus folgender Tabelle ableiten:
Dezimal Binär-Code Gray-Code
00 0000 0000
01 0001 0001
02 0010 0011
03 0011 0010
04 0100 0110
05 0101 0111
06 0110 0101
07 0111 0100
08 1000 1100
09 1001 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000
Wie ersichtlich, switscht bei der Gray-Kodierung lediglich ein Bit, wenn sich die Dezimal-Kodierung
um eine Einheit ändert.
Der Gray-Code geht auf einen Herren namens Frank Gray (1887 -1969) zurück, der sich den Code 1953
patentieren ließ, obwohl er in der Mathematik längst bekannt war. Aus meiner Sicht eine sehr bedenkliche Patenterteilung.
Die Programmierungsaufgabe besteht darin ein Programm zu schreiben,
das ein positives Integer entgegennimmt und die Gray-Code-Folge zurückgibt.
Optional kann auch die inverse Transformation programmiert werden.
wesentlich höher sein als die zeitliche Änderung des Messsignals (Nyquist-Kriterium).
Aus diesem Grunde ergeben zwei benachbarte Abtastungen zumeist entweder den gleichen (Digital)wert
oder einen um +/- 1 geänderten Wert. Ist dies nicht der Fall, so kann man mit sehr hoher
Wahrscheinlichkeit von einem Fehler bei der Messung (größer Rauscheinfluss) oder bei der Analog-
Digital-Konvertierung ausgehen.
Fehler bei der Analog-Digital-Konvertierung können bevorzugt dann entstehen, wenn bei einer
Messwertänderung um +/- 1 gleichzeitig mehrere Binärwerte switschen müssen. Z. B. bei einem
Messwert 7, der sich auf 8 ändert (7 -> 8) ändert sich der Binärwert von 0111 -> 1000, d. h.
es müssen quasi parallel vier Bits gekippt werden.
Um diese Fehlerquelle zu minimieren, werden die Messwerte zumeist nicht direkt in eine
Binärzahl konvertiert, sondern zunächst in den sogenannten Gray-Code. Der Gray-Code garantiert, dass sich bei
einer Messwertänderung um +/- 1 nur ein einziges Bit im Code ändert.
Das Kodierungsschema lässt sich u. a. leicht aus folgender Tabelle ableiten:
Dezimal Binär-Code Gray-Code
00 0000 0000
01 0001 0001
02 0010 0011
03 0011 0010
04 0100 0110
05 0101 0111
06 0110 0101
07 0111 0100
08 1000 1100
09 1001 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000
Wie ersichtlich, switscht bei der Gray-Kodierung lediglich ein Bit, wenn sich die Dezimal-Kodierung
um eine Einheit ändert.
Der Gray-Code geht auf einen Herren namens Frank Gray (1887 -1969) zurück, der sich den Code 1953
patentieren ließ, obwohl er in der Mathematik längst bekannt war. Aus meiner Sicht eine sehr bedenkliche Patenterteilung.
Die Programmierungsaufgabe besteht darin ein Programm zu schreiben,
das ein positives Integer entgegennimmt und die Gray-Code-Folge zurückgibt.
Optional kann auch die inverse Transformation programmiert werden.
3 Lösungen
Symmetrische Primzahlen
Wieviele Primzahlen P < 1.000.000 sind rückwärts gelesen auch eine Primzahl, jedoch ungleich sich selbst?
Anmerkung: Die (Prim)zahlen 2, 3, 5, 7, 11 erfüllen nicht die Bedingungen (sind rückwärts gelesen sich selbst gleich),
als erste erfüllt die 13 die Bedingungen.
Anmerkung: Die (Prim)zahlen 2, 3, 5, 7, 11 erfüllen nicht die Bedingungen (sind rückwärts gelesen sich selbst gleich),
als erste erfüllt die 13 die Bedingungen.
2 Lösungen
Endliche Kettenbrüche rationaler Zahlen
Mit einem Kettenbruch K = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1 /(....))) - mit a0 als ganze Zahl und a1, a2 ... als
positve natürliche Zahlen ungleich Null - lässt sich bekanntlch jede reelle Zahl darstellen.
In der Praxis sind Kettenbrüche etwas unhandlich und man bevorzugt die Schreibweise
K = [a0; a1, a2, a3 ...]. Ist der Kettenbruch endlich, können damit alle rationale Zahlen beschrieben werden.
Die meisten Anwendungen finden Kettenbrüche in der Zahlentheorie, aber auch für Informatiker können sie
nutzbringend sein, insbesondere wenn man Rundungsprobleme umgehen muss. Z. B.
C#-Code
gibt als Ergebnisse 1E+15 und 1 hervor. Der Term (1.0 / 3) wird ohne jegliche Vorwarnung einfach verschluckt
und man bekommt gegebenenfalls am Ende einer Rechnung völligen Unfug heraus, ohne es zu merken
(einer der schlimmsten Fallstricke für den Programmierer).
Würde man x als Kettenbruch darstellen
x = 3.000.000.000.000.001 / 3 = [1.000.000.000.000.000; 3]
blieben alle Informationen erhalten und die Welt wäre wieder in Ordnung.
Nun, wir wollen keine komplette Algebra mit Kettenbruchobjekten entwickeln,
sonder lediglich folgende Aufgabenstellungen lösen:
Schreibe ein Programm, das
1.) zwei Zahlen (ZAEHLER und NENNER mit NENNER != 0) entgegennimmt
und eine entsprechende Kettenbruchdarstellung zurückgibt und
2.) diese Kettenbruchdarstellung wieder rücktransformiert.
Das Interessante an Teilaufgabe 2.) ist, dass sich der Bruch ZAEHLER/NENNER
automatisch selbst kürzt, also z. B. ZAEHLER = 50 und NENNER = 100 -> [0; 2],
rücktransformiet führt dies richtig zu ZAEHLER = 1 und NENNER = 2. Bei negativen
Zahlen ist allerdings nicht entscheidbar, ob der ZAEHLER oder der NENNER negativ ist
(möglicherweise ein neuer Fallstrick, das Programmiererleben ist manchmal sehr schwer).
positve natürliche Zahlen ungleich Null - lässt sich bekanntlch jede reelle Zahl darstellen.
In der Praxis sind Kettenbrüche etwas unhandlich und man bevorzugt die Schreibweise
K = [a0; a1, a2, a3 ...]. Ist der Kettenbruch endlich, können damit alle rationale Zahlen beschrieben werden.
Die meisten Anwendungen finden Kettenbrüche in der Zahlentheorie, aber auch für Informatiker können sie
nutzbringend sein, insbesondere wenn man Rundungsprobleme umgehen muss. Z. B.
C#-CodeDouble x = 1.0E+15 + 1.0 / 3; WriteLine(x.ToString()); WriteLine((x / 1.0E+15).ToString());
gibt als Ergebnisse 1E+15 und 1 hervor. Der Term (1.0 / 3) wird ohne jegliche Vorwarnung einfach verschluckt
und man bekommt gegebenenfalls am Ende einer Rechnung völligen Unfug heraus, ohne es zu merken
(einer der schlimmsten Fallstricke für den Programmierer).
Würde man x als Kettenbruch darstellen
x = 3.000.000.000.000.001 / 3 = [1.000.000.000.000.000; 3]
blieben alle Informationen erhalten und die Welt wäre wieder in Ordnung.
Nun, wir wollen keine komplette Algebra mit Kettenbruchobjekten entwickeln,
sonder lediglich folgende Aufgabenstellungen lösen:
Schreibe ein Programm, das
1.) zwei Zahlen (ZAEHLER und NENNER mit NENNER != 0) entgegennimmt
und eine entsprechende Kettenbruchdarstellung zurückgibt und
2.) diese Kettenbruchdarstellung wieder rücktransformiert.
Das Interessante an Teilaufgabe 2.) ist, dass sich der Bruch ZAEHLER/NENNER
automatisch selbst kürzt, also z. B. ZAEHLER = 50 und NENNER = 100 -> [0; 2],
rücktransformiet führt dies richtig zu ZAEHLER = 1 und NENNER = 2. Bei negativen
Zahlen ist allerdings nicht entscheidbar, ob der ZAEHLER oder der NENNER negativ ist
(möglicherweise ein neuer Fallstrick, das Programmiererleben ist manchmal sehr schwer).
2 Lösungen
Gewinn durch multiblen Devisenhandel
Derzeit gibt es weltweit über 160 offizielle Währungen, wobei ein gutes Dutzend voll konvertierbar ist.
In der Tabelle sind die Kaufopsionen für acht von ihnen aufgelistet (leider bessere Formatierung in dieser Ansicht wohl nicht möglich,
hier sollte Gustl dankenswerter Weise noch etwas tun):
EUR USD JPY GBP CHF CAD AUD NZD
EUR 1,0000 1,0795 120,184 0,8658 1,0701 1,4423 1,4141 1,5323
USD 0,9264 1,0000 111,329 0,8021 0,9909 1,3377 1,3120 1,4234
JPY 0,0083 0,0090 1,00000 0,0072 0,0089 0,0120 0,0118 0,0127
GBP 1,1545 1,2467 138,860 1,0000 1,2361 1,6687 1,6354 1,7718
CHF 0,9335 1,0083 112,310 0,8081 1,0000 1,3486 1,3216 1,4357
CAD 0,6933 0,7478 83,2120 0,5993 0,7402 1,0000 0,9816 1,0647
AUD 0,7061 0,7622 84,7950 0,6110 0,7545 1,0188 1,0000 1,0803
NZD 0,6503 0,7025 78,2000 0,5629 0,6965 0,9392 0,9208 1,0000
http://www.onvista.de/devisen/cross-rates/
Durch geschickte Ausnutzung von Kursschwankungen ist es denkbar, dass man durch einen gestaffelten
Kauf und Weiterverkauf von Währungen einen Gewinn erzielen kann. In der Praxis wird dieser Gewinn
im Falle kurzfristiger Aktionen allerdings sofort durch Transaktionsgebühren wieder aufgefressen. Für die
folgende Aufgabe seien Transaktionsgebühren unberücksichtigt.
Wir steigen mit einer beliebigen Einheit einer Währung ein und suchen einen Handelsweg, der uns am Ende
mehr abwirft, als wir am Anfang eingesetzt haben. Grundlage sei die momentane Währungstabelle,
auch cross-rates-table genannt.
Folgende Einschränkungen: Es müssen nicht alle möglichen Währungspaare in der Kette auftauchen, jedoch
jedes Paar höchstens einmal. Die letzte Transaktion muss wieder zu unsere Ausgangswährung zurückführen.
Aufgabe: Schreibe ein Programm, dass dir alle Transaktionswege mit positivem Ergebnis ausgibt bzw.,
wenn es keinen einzigen Weg gibt, dies entsprechend mitteilt.
In der Tabelle sind die Kaufopsionen für acht von ihnen aufgelistet (leider bessere Formatierung in dieser Ansicht wohl nicht möglich,
hier sollte Gustl dankenswerter Weise noch etwas tun):
EUR USD JPY GBP CHF CAD AUD NZD
EUR 1,0000 1,0795 120,184 0,8658 1,0701 1,4423 1,4141 1,5323
USD 0,9264 1,0000 111,329 0,8021 0,9909 1,3377 1,3120 1,4234
JPY 0,0083 0,0090 1,00000 0,0072 0,0089 0,0120 0,0118 0,0127
GBP 1,1545 1,2467 138,860 1,0000 1,2361 1,6687 1,6354 1,7718
CHF 0,9335 1,0083 112,310 0,8081 1,0000 1,3486 1,3216 1,4357
CAD 0,6933 0,7478 83,2120 0,5993 0,7402 1,0000 0,9816 1,0647
AUD 0,7061 0,7622 84,7950 0,6110 0,7545 1,0188 1,0000 1,0803
NZD 0,6503 0,7025 78,2000 0,5629 0,6965 0,9392 0,9208 1,0000
http://www.onvista.de/devisen/cross-rates/
Durch geschickte Ausnutzung von Kursschwankungen ist es denkbar, dass man durch einen gestaffelten
Kauf und Weiterverkauf von Währungen einen Gewinn erzielen kann. In der Praxis wird dieser Gewinn
im Falle kurzfristiger Aktionen allerdings sofort durch Transaktionsgebühren wieder aufgefressen. Für die
folgende Aufgabe seien Transaktionsgebühren unberücksichtigt.
Wir steigen mit einer beliebigen Einheit einer Währung ein und suchen einen Handelsweg, der uns am Ende
mehr abwirft, als wir am Anfang eingesetzt haben. Grundlage sei die momentane Währungstabelle,
auch cross-rates-table genannt.
Folgende Einschränkungen: Es müssen nicht alle möglichen Währungspaare in der Kette auftauchen, jedoch
jedes Paar höchstens einmal. Die letzte Transaktion muss wieder zu unsere Ausgangswährung zurückführen.
Aufgabe: Schreibe ein Programm, dass dir alle Transaktionswege mit positivem Ergebnis ausgibt bzw.,
wenn es keinen einzigen Weg gibt, dies entsprechend mitteilt.
