Perl :: Aufgabe #166

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Validierung der abc-Vermutung

Anfänger - Perl von hollst - 01.05.2017 um 16:44 Uhr
Die sogenannte abc-Vermutung sorgte in den letzten Jahren zu ungewöhnlich viel
Wirbel, Stress und Zank bei Zahlentheoretikern mit vielleicht sogar etwas skandalösem Touch.

Gelänge ein Beweis, dann könnte ein solcher in die Top-Charts der jüngeren Mathematikgeschichte
aufsteigen. Die abc-Vermutung wurde erst vor Kurzem aufgestellt (etwa 1985, also vor gut 30 Jahren,
was in der Mathematikgeschichte quasi nichts ist). Verblüffend für mich ist, dass man bei einem Beweis
damit die berühmte Große Fermatsche Vermutung von 1635, bewiesen erst 1993 auf mehreren hundert DIN-A4-Seiten
(wobei zuvor bereits mehr als 5.000 fehlgeschlagene Beweisversuche bekannt sind), auf einer einzigen
DIN-A4-Seite aufschreiben könnte und dass selbst ein Laie (wie ich) den Beweis verstehen würde.

Kommen wir (kurz) zum skandalösem Touch: 2012 reichte ein Japaner auf über 500 DIN-A4-Seiten einen (angeblichen)
Beweis der abc-Vermutung ein. Es stellte sich schnell heraus, dass er dabei (bewiesenes) Nebenwissen anwandte,
dass jedoch kaum bekannt war und in der Beweisführung hätte etwas mehr Platz und Erörterung finden sollen. Dies korrigierte
der Japaner dann wohl auch, womit sich sein Beweis auf über 1.000 Seiten aufblähte. Verständlich, dass sich damit kaum jemand
beschäftigte.

Darüber frustiert, beschimpfte der Japner zunächst die mathematische Welt als einen Haufen talentloser
Idioten (also nicht wörtlich, so etwas macht ein Japaner nicht, sondern sinnbildlich) und lud 2015 eine Reihe von Mathematikern,
die er selbst aussuchte und für ev. für fähig hielt, zu mehrtägigen Workshops ein. In ellenlangen Vorträgen erläuterte er
diesen Experten seinen Beweis der abc-Vermutung.

Jedenfalls sollen sich nach den Workshops einige der ausgesuchten Experten in die Richtung geäußert haben,
dass sie einen Ansatz zum Verständnis und zur Prüfung des Beweises sehen und sich an die Arbeit machen wollen.
Man hat abgeschätzt, dass, wenn man sich täglich etwa fünf Stunden damit beschäftigen würde, etwa in einem halben Jahr
durchsein könnte.

Nun gut, bis heute ist keiner durch, allerdings hat sich auch noch niemand geäußert, einen Fehler gefunden zu haben.
Somit ist alles noch in der Schwebe. Dass die jetzt beweissuchenden Experten zuvor vom Japaner gebrieft worden sind, stellt
allerdings das eigentlich Zweifelhafte und nicht Akzeptierbare dar, der Geruch von Bestechlichkeit ist nicht wegzuwischen.

Soweit die kleine Vorgeschichte. Natürlich wollen auch wir nicht die abc-Vermutung beweisen, soldern lediglich etwa überprüfen.
Würden wir bei der Überprüfung auch nur ein einziges Gegenbeispiel finden, so hätte es sich mit dem Beweis ja sowieso erledigt.
Aber keine zu große Vorfreude, ich denke weder ihr noch ich werden wahrscheinlich ein Gegenbeispiel finden.


Die ABC-Vermutung: Gegeben seien zwei positive Ganzzahlen a und b mit 0 < a < b und die außerdem teilerfremd (ggT(a, b) = 1) sind.
Diesen zwei Zahlen a und b sind zwei Eigenschaften zugeordnet, genannt "Summe" (c) und "Radikal" (rad).

Die Eigenschaft "Summe" ist weiter nichts als die ordinäre Summe von a und b, also c = a + b. Interessanter ist das "Radikal",
es ist eine spezielle Multiplikationsvorschrift für a, b und c. Würde man das ordinäre Produkt a * b * c bilden, so würde immer
gelten

a * b * c > c (es sei den a = b = 1, was aber wegen a < b untersagt ist).

Beim Radikal rad(a * b * c) werden jedoch nur alle unterschiedlichen Primzahlen, in die a * b * c zerlegt werden kann,
miteinander multipliziert.

Z. B. rad(100) = rad (2 * 2 * 5 * 5) = 2 * 5 = 10;

Bei einer so definierten Multiplikation ist es dann in der Tat möglich, dass sich für bestimmte positiv ganzzahlige
Tripel (a, b, c) wahre Ungleichungen bzw. Gleichungen der Form rad(a * b * c) <= c ergeben. Man nennt derartige Tripel abc-Treffer.

Allerdings gibt es "reativ wenige" solcher abc-Treffer. Es kann jedoch bewiesen werden, dass es immer noch unendlich viele sind
(deshalb machen Beschreibungen wie "reativ wenige" keinen Sinn in der Mathematik). So, bis jetzt ist alles noch "relativ" unspannend.

Spannend wird es, wenn man rad(a * b * c) potenziert, also (rad(a * b * c))^(1 + epsilon). Mit epsilon = 0 haben wir wieder den
Fall unendlich vieler mögliche abc-Treffer. Ist jedoch epsilon auch nur ein "My" größer als Null gibt es nur noch endlich viele abc-Treffer
(so die abc-Vermutung).

Wäre dies tatsächlich so (also bewiesen), zöge das einen ganz gewaltigen Schwanz an neuen mathematischen Erkenntnissen u. a. in der
Zahlentheorie nach sich (worauf wir hier natürlich nicht eingehen wollen, wer dbzgl. mehr wissen möchte, kann zunächst am Besten bei
Wikipedia einsteigen).


Die Programmieraufgabe lautet:

1.) Zähle alle abc-Treffer mit epsilon = 0 für die c < c_max (z. B. c_max = 10.000) ist.

2.) Führe das Gleiche durch mit wachsendem epsilon, z. B. epsilon = {0.1, 0.2 ... 0.9, 1.0} (interessant wäre zu erkunden, ob bei
steigendem epsilon die Anzahl der abc-Treffer linear abnimmt).


Viel Erfolg!

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